1️⃣ Calculs mathématiques essentiels pour l’économie et la gestion

Abstract

Maîtriser les opérations et propriétés fondamentales des nombres réels, dans une optique appliquée à l’économie et à la gestion.

Keywords

Lesson

Les mathématiques constituent un langage universel indispensable en économie et en gestion. Derrière chaque décision de production, de prix, d’investissement ou de financement se cachent des calculs, parfois simples, parfois plus complexes, mais toujours basés sur les règles fondamentales des nombres réels. La maîtrise de ces bases n’est donc pas seulement une question scolaire : elle est un outil quotidien de raisonnement et d’efficacité professionnelle.

Dans ce cours, nous allons revisiter les opérations essentielles

priorités des calculs, valeur absolue, puissances, racines carrées, fractions, pourcentages, indices et proportionnalité. L’objectif n’est pas seulement de connaître les règles théoriques, mais surtout de comprendre leur utilité dans des situations concrètes de la vie économique et de la gestion d’entreprise.

Chaque notion sera accompagnée d’exemples tirés de contextes réels (salaires, remises, croissance, qualité de production…) et d’exercices progressifs pour s’entraîner. À la fin de cette leçon, vous disposerez d’un socle solide pour aborder avec assurance les calculs appliqués à l’économie et à la gestion.

🧰 Outils mathématiques abordés :

• Priorité des opérations arithmétiques
• Valeur absolue
• Puissances
• Racine carrée
• Fractions
• Pourcentages et indices
• Règle de proportionnalité

1. Priorité des opérations

La priorité des opérations est une règle fondamentale des mathématiques qui permet de résoudre correctement les expressions numériques. En effet, l’ordre dans lequel on effectue les calculs peut totalement changer le résultat : on ne peut donc pas additionner, multiplier ou élever à une puissance dans n’importe quel ordre.

Pour éviter les erreurs, on applique une hiérarchie stricte : d’abord les parenthèses, puis les puissances et racines, ensuite les multiplications et divisions (de gauche à droite), et enfin les additions et soustractions (de gauche à droite). Cette règle, parfois résumée par l’acronyme PEMDAS, est indispensable aussi bien pour les calculs manuels que pour l’utilisation d’une calculatrice ou d’un tableur.

Dans un contexte économique ou de gestion, savoir respecter ces priorités est crucial : une simple erreur de parenthèse peut transformer un bénéfice en perte ou fausser une estimation de coûts.

Rappel des règles

La mnémotechnique, PEMDAS permet de mémoriser simplement l’ordre des opérations :

1. Parenthèses (\(()\), \([]\), \({}\))
2. Exposants (puissances et racines)
3. Multiplications et Divisions (de gauche à droite)
4. Additions et Soustractions (de gauche à droite)

⚠️ Attention

La calculatrice n’applique pas toujours correctement les priorités, surtout sans parenthèses !

Exemple de la vie réelle

Vous avez travaillé \(20\) heures rémunérées à \(30\) €/h et \(40\) heures rémunérées à \(55\) €/h. Le taux pour passer du brut au net est de \(0,8\). Calculez votre revenu total net en euros.

\[ 0,8 * (20 * 30 + 40 * 55) = 2240 \]

Exercices

from shiny import reactive, render
from shiny.express import input, ui

ui.input_action_button("action_button", "Action")  

@render.text()
@reactive.event(input.action_button)
def counter():
    return f"{input.action_button()}"

from shiny import App, ui, reactive, render

# Define questions with LaTeX formatting
questions = [
    {"question": r"What is $8 / 2 * (2 + 2)$?", "answer": "16"},
    {"question": r"What is $4 * (5 - (9 - 2))$?", "answer": "-8"},
    {"question": r"What is $10 + 2 * (-1) × 2^3$?", "answer": "-6"},
    {"question": r"What is $(10 + 2 * (-1) * 2^3 - 4 * (5 - (9 - 2)))$?", "answer": "2"},
    {"question": r"What is $(10+2×(−1)×2^3−4×(5−(9−2)))÷8 $?", "answer": "1/4"},
    {"question": r"Ajouter des parenthéèses pour que l'égalité soit vraie : 3 + 5 × 2 = 16", "answer": "(3 + 5) × 2 = 16"},
    {"question": r"Ajouter des parenthéèses pour que l'égalité soit vraie : 10 - 2 + 4 = 4", "answer": "10 - (2 + 4) = 4"},
    {"question": r"[12 - (3 + 2^3 * (4 - 1)) / 3] * 2 - 5^2", "answer": "-19"},
    ]

# Reactive state
current_index = reactive.Value(0)
score = reactive.Value(0)
feedback_text = reactive.Value("")
show_next_button = reactive.Value(False)

# UI
app_ui = ui.page_fluid(
    ui.h2("🧮 Math Quiz"),
    ui.output_ui("question_ui"),
    ui.input_text("user_answer", "Your answer:", ""),
    ui.input_action_button("check", "Check Answer"),
    ui.output_ui("feedback_ui"),
    ui.output_ui("next_button_ui"),
    ui.hr(),
    ui.output_ui("score_ui")
)

# Server
def server(input, output, session):
    @output
    @render.ui
    def question_ui():
        q = questions[current_index.get()]["question"]
        return ui.markdown(q)

    @output
    @render.ui
    def feedback_ui():
        return ui.markdown(feedback_text.get())

    @output
    @render.ui
    def score_ui():
        return ui.markdown(f"**✅ Correct answers:** {score.get()} / {len(questions)}")

    @output
    @render.ui
    def next_button_ui():
        if show_next_button.get() and current_index.get() < len(questions) - 1:
            return ui.input_action_button("next", "Next Question")
        return ui.markdown("")

    @reactive.Effect
    @reactive.event(input.check)
    def check_answer():
        user = input.user_answer().strip()
        correct = questions[current_index.get()]["answer"]

        if user == correct:
            score.set(score.get() + 1)
            feedback_text.set("✅ Correct! Click 'Next Question' to continue.")
            show_next_button.set(True)
        else:
            feedback_text.set("❌ Try again.")
            show_next_button.set(False)

    @reactive.Effect
    @reactive.event(input.next)
    def next_question():
        if current_index.get() < len(questions) - 1:
            current_index.set(current_index.get() + 1)
            feedback_text.set("")
            show_next_button.set(False)

app = App(app_ui, server)

2. Valeur absolue

La valeur absolue d’un nombre réel a, notée \(|a|\), est sa distance à zéro :

• \(|a| = a\) si \(a ≥ 0\)
• \(|a| = –a\) si \(a < 0\)

Quelques propriétés utiles

• \(|a| ≥ 0\)
• \(|a| = |−a|\)
• \(|a × b| = |a| × |b|\)
• \(|a / b| = |a| / |b|\) (si \(b ≠ 0\))
• \(|𝑎| = 0 ⟺ 𝑎 = 0\)
• \(|𝑎|=|𝑏|⟺𝑎=𝑏\) ou \(𝑎=−𝑏\)
• \(|𝑎/𝑏|=|𝑎|/|𝑏|\) avec \(b≠0\)

⚠️ Attention

En général : \(|a + b| ≠ |a| + |b|\)

Applications

Confort thermique

Écart entre température réelle et température cible :

• Matin : |T_matin^réelle – T_matin^cible|
• Soir : |T_soir^réelle – T_soir^cible|
• Indice d’équilibre : |écart matin – écart soir|

Contrôle qualité (ex. plaque métallique) :

• Défaut global : |L_r – L_c| + |l_r – l_c|
• Déséquilibre : ||L_r – L_c| − |l_r – l_c||

🎯 Exercice synthèse :

Calculer :

\[ −2 × |−4 − |1 − 5|| − |(−2)^2| × |4 − 7| + |−3|^2 \]

✅ Résultat : −19

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🔋 3. Puissances

📌 Définition :

Une puissance aⁿ représente le produit de a par lui-même n fois.

🔧 Propriétés clés :

• aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ
• aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ
• a⁰ = 1
• a^(–n) = 1/aⁿ
• (aⁿ)^m = aⁿᵐ
• a^(1/2) = √a

⚠️ Attention : aⁿ + aᵐ ≠ aⁿ⁺ᵐ

📈 Application économique :

Croissance composée (exponentielle) : chaque croissance s’applique à une base déjà augmentée. Ex. : intérêts composés, capitalisation.

🎯 Exercice objectif :

\[ \left( \frac{2^3 × 4^{-2} × 8}{2^{-1} × \sqrt{64} × 8} \right)^2 \]

✅ Résultat : 4

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🟰 4. Racine carrée

📌 Définition :

La racine carrée de a est le nombre positif b tel que b² = a.

🔧 Propriétés utiles :

• √(a × b) = √a × √b
• √(a / b) = √a / √b
• ⚠️ √(a + b) ≠ √a + √b

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🍰 5. Fractions

📌 Définition :

Une fraction est une division de deux réels, notée a/b.

🔧 Règles fondamentales :

• Addition / soustraction :

  • Si dénominateurs identiques → additionner les numérateurs
  • Sinon → réduire au même dénominateur (PPCM recommandé)

• Multiplication :

  • Multiplier numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux

• Division :

  • Multiplier par l’inverse de la deuxième fraction

🎯 Exemple objectif :

Calculer :

\[ \left( \frac{3}{4} + \frac{2}{3} × \left(1 − \frac{5}{6} \right) \right) ÷ \left( \frac{7}{8} − \frac{1}{2} \right) \]

✅ Résultat : 62/27

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📉 6. Pourcentages & Indices

📌 Définition :

Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100.

Ex. : 25 % de 80 = (25/100) × 80 = 20

🔁 Remises successives :

Manteau à 200 €

• 10 % pour soldes
• 5 % fidélité
• 15 % anniversaire

Prix final =

\[ 200 × 0,90 × 0,95 × 0,85 = 145{,}35 \,€ \]

Remise globale = 1 – 0,72675 = 27,33 %

📊 Indice :

\[ \text{Indice} = \left( \frac{\text{valeur actuelle}}{\text{valeur de référence}} \right) × 100 \]

• Si indice = 100 : stabilité

• 100 : augmentation

• <100 : diminution

Exemple : Indice de prix = (145,35 / 200) × 100 = 72,675

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📐 7. Règle de proportionnalité

📌 Définition :

Si deux rapports sont égaux, on dit qu’il y a proportionnalité :

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{x} \Rightarrow x = \frac{b × c}{a} \]

🔍 Application :

Comparer deux produits ou remises pour un même taux proportionnel.

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