2️⃣ Maîtrise des équations pour une meilleure prise de décision

Abstract

Ce module porte sur la maîtrise des équations et des expressions algébriques, en s’appuyant sur des outils essentiels comme la factorisation, le développement, les identités remarquables et la résolution d’équations du premier degré, afin de renforcer les capacités d’analyse et d’aide à la décision.

Keywords

Lesson

Compétences visées

• Simplifier et réécrire une expression.
• Mettre en évidence une structure (mise en facteur, identité remarquable).
• Résoudre des équations du 1er degré en contexte.

Transformations Algébriques

Les transformations algébriques désignent l’ensemble des règles et techniques permettant de modifier la forme d’une expression algébrique sans changer sa valeur.

Ces opérations servent à simplifier, développer, factoriser ou réécrire des expressions, dans le but de :

1. Les rendre plus simples à manipuler ;
2. Mettre en évidence une structure (comme une identité remarquable ou une mise en facteur) ;
3. Ou faciliter la résolution d’équations.

Factorisation

La factorisation consite à réécrire une expression mathématique, comme \(C(x) = x^2 - 3x\) par exemple, sous une autre forme comportant un produit. Dans la partie droite de l’égalité, on peut voir que la variable \(x\) est présente dans \(x2\) et dans \(3x\). Alors on peut utiliser la variable \(x\) comme facteur de cette expression mathématique.

La forme factorisée devient:

\[ C(x) = x(x - 3) \]

La factorisation permet de comprendre plus facilement le comportement de la fcontion, on s’aperçoit rapidement que la fonction est nulle lorsque \(x = 3\)

Étapes de la factorisation

1. Identifier le plus grand facteur commun (\(x\) dans notre exemple).
2. diviser chaque terme par ce facteur.
3. réécrire l’expression comme un produit.

Exemples

1. \[4x + 8\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(4\)
• Forme factorisée : \(4(x +2)\)

2. \[-21x - 14\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(-7\)
• Forme factorisée : \(-7(3x + 2)\)

3. \[35x + 49\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(7\)
• Forme factorisée : \(7(5x + 7)\)

4. \[144 + 108x\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(36\)
• Forme factorisée : \(36(4 + 3x)\)

5. \[x2 + 4x\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(x\)
• Forme factorisée : \(x(x + 4)\)

6. \[8x^2 + 4x\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(4x\)
• Forme factorisée : \(4x(2x + 1)\)

7. \[x^3 + x^2\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(x^2\)
• Forme factorisée : \(x^2(x + 1)\)

8. \[60x^3 + 90x^2\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(30x^2\)
• Forme factorisée : \(30x^2(2x + 3)\)

9. \[20xy + 30x\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(10x\)
• Forme factorisée : \(10x(2y + 3)\)

10. \[20x^2y + 30x\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(10x\)
• Forme factorisée : \(10x(2xy +3)\)

11. \[45 x^2y - 15xy\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(15xy\)
• Forme factorisée : \(15xy(3x - 1)\)

12. \[7x^2y +21xy^2\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(7xy\)
• Forme factorisée : \(7xy(x + 3y)\)

13. \[3(x + 2) + 5(x + 2)\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \((x + 2)\)
• Forme factorisée : \(8(x + 2)\)

14. \[2x(3x - 5) + 4(3x - 5)\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(2(3x - 5)\)
• Forme factorisée : \(2(3x - 5)(x +2)\)

15. \[6(x - 3) - 5(-x + 3)\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(x - 3\)
• Forme factorisée : \(11(x - 3)\)

16. \[(3x + 2)(2x - 5) + (4x - 1)(2x -5)\]

✅ Solution

• Plus grand facteur commun : \(2x - 5\)
• Forme factorisée : \((2x -5)(7x +1)\)

Exemples : sachant que, dans chacune des expressions suivantes,

le plus grand facteur commun est \((x + 3)\), trouve la forme factorisée.

17. \[2x^2 + 6x +x +3\]

✅ Solution

• Étape intermédiaire : \(2x(x +3) + (x + 3)\)
• Forme factorisée : \((x + 3)(2x + 1)\)

18. \[3x^2 + 9x + 2x + 6\]

✅ Solution

• Étape intermédiaire : \(3x(x + 3) + 2(x + 3)\)
• Forme factorisée : \((x + 3)(3x + 2)\)

18. \[x^3 + 3x^2 + 3x + 9\]

✅ Solution

• Étape intermédiaire : \(3x(x + 3) + 2(x + 3)\)
• Forme factorisée : \((x + 3)(3x + 2)\)

Développement

Le développement est l’opération inverse de la factorisation : il s’agit de transformer une expression écrite sous forme de produit en une somme de termes, généralement sous forme polynomiale ¹. Cette technique repose sur la distributivité, comme dans la règle \(a(b+c) = ab + ac\). Par exemple, développer \(3(x+4)\) revient à écrire \(3x + 12\), tandis que \((x+2)(x-5)\) se développe en \(x^2 - 3x - 10\).

Le développement permet de simplifier ou de comparer des expressions, de préparer une résolution d’équation ou encore de mettre en évidence la forme standard d’un polynôme. C’est un outil fondamental qui facilite l’analyse algébrique et sert de base à de nombreux raisonnements en mathématiques.

Étapes du développement

1. Exemple d’une fonction de coût:

\[ C(x) = 5x(x+20)(y + 3) \]

2. On développe en elevant les parenthèse tout en appliquandt les règles de la distributivité:

3. distributivité simple : \(5x(x+20)=5x^2+100x\)

4. double distributivité : \((5x^2+100x)(y+3)=5x^2y+15x^2+100xy+300x\)

5. On obtient :

\[ C(x) = 5x^2y + 100xy + 15x^2 + 300x \]

On constate alors que cette fonction de coût est composée de :

• Coûts variables croissants (\(5x^2y + 15x^2\))
• Coûts variables proportionnels (\(100xy + 300x\))

Exemples - développer

1. \[3(x + 4)\]

✅ Solution

forme développée : \(3x +12\)

2. \[-2(x - 7)\]

✅ Solution

forme développée : \(-2x + 14\)

3. \[-4(x^2 - 3x +7)\]

✅ Solution

forme développée : \(-4x^2 + 12x - 28\)

4. \[-4x(x^2 - 3x + 7)\]

✅ Solution

forme développée : \(-4x^3 + 12x^2 - 28x\)

5. \[(x + 2)(x + 3)\]

✅ Solution

forme développée : \(x^2 + 5x + 6\)

6. \[(2x - 5)(x^2 + x + 1)\]

✅ Solution

forme développée : \(2x^3 - 3x^2 -3x -5\)

7. \[(x^2 + 2x - 1)(x^2 - x + 3)\]

✅ Solution

forme développée : \(x^4 + x^3 + 7x - 3\)

8. \[(x + 1)(x - 2)(x + 3)\]

✅ Solution

forme développée : \(x^3 + 2x^2 - 5x - 6\)

Identités remarquables

Les identités remarquables sont des égalités algébriques fondamentales qui permettent de développer ou de factoriser rapidement certaines expressions sans passer par un calcul terme à terme. Les plus courantes sont :

• \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

• \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\),

• et \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).

  Ces formules, faciles à mémoriser, offrent un gain de temps considérable et aident à reconnaître des structures cachées dans une expression.

  Par exemple, l’expression \(x^2 + 6x + 9\) peut être immédiatement identifiée comme le carré de \((x + 3)\). Les identités remarquables ne sont pas seulement des outils de calcul : elles sont également utiles pour simplifier des équations, factoriser des polynômes, étudier des fonctions ou encore modéliser des situations en physique et en économie. Elles constituent ainsi un pilier de la maîtrise de l’algèbre.

Exemples - Développer à partir des identités remarquables

1. \[(x + 5)^2\]

✅ Solution

forme développée : \(x^2 + 10x + 25\)

2. \[(2x - 5)^2\]

✅ Solution

forme développée : \(4x^2 - 20x +25\)

3. \[(-x + 5)^2\]

✅ Solution

forme développée : \(x^2 - 10x + 25\)

4. \[(2x -5)(2x + 5)\]

✅ Solution

forme développée : \(4x^2 - 25\)

Exemples - Factoriser à partir des identités remarquables

1. \[x^2 + 6x + 9\]

✅ Solution

forme factorisée : \((x + 3)^2\)

2. \[(2x - 5)^2\]

✅ Solution

forme factorisée : \(4x^2 - 20x +25\)

3. \[9x^2 - 24x + 16\]

✅ Solution

forme factorisée : \((3x - 4)^2)\)

4. \[-4x^2 + 12x - 9\]

✅ Solution

forme factorisée : \(-(2x - 3)^2\)

5. \[16x^2 - 25\]

✅ Solution

forme factorisée : \((4x + 5)(4x - 5)\)

6. \[49x^2 - 1\]

✅ Solution

forme factorisée : \((7x + 1)(7x - 1)\)

7. \[49x^4 - x^2\]

✅ Solution

forme factorisée : \(x^2(7x + 1)(7x - 1)\)

8. \[(x + 2)^2 - (x - 2 )^2\]

✅ Solution

forme factorisée : \(8x\)

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Résolution d’équations du 1er degré

Méthode générale (équations du 1er degré \(ax + b = 0\)) : 1. Développer/éliminer les parenthèses si besoin ; 2. Regrouper les termes en \(x\) d’un côté et les constantes de l’autre ; 3. Isoler \(x\) : \(x = -\dfrac{b}{a}\) si \(a \neq 0\).

Exercices types : 1. \(3x - 7 = 11\)
Solution : \(x = 6\). 2. \(2(x - 3) = 5 - x\)
Solution : \(x = \dfrac{11}{3}\). 3. \(\dfrac{x - 1}{3} + \dfrac{2x + 5}{6} = 2\)
Piste : passer au même dénominateur.

Lien avec les identités remarquables : certaines équations du 2d degré se ramènent à du 1er degré après factorisation.

• Exemple 1 : résoudre
• Exemple 2 : résoudre
• Exemple 3 : résoudre
• Exemple 4 : résoudre

Entraînement (mini-banque)

1. Simplifier : \(\dfrac{6x - 9}{3}\).
   Corrigé (déplier) :
   Voir

   \(2x - 3\)
2. Factoriser : \(4x^2 - 12x\).
   Corrigé :
   Voir

   \(4x(x - 3)\)
3. Développer : \((3x - 2)(x + 5)\).
   Corrigé :
   Voir

   \(3x^2 + 13x - 10\)
4. Résoudre : \(5x + 7 = 2x - 5\).
   Corrigé :
   Voir

   \(x = -4\)

Footnotes

1. Expression formée uniquement de produits et de sommes de constantes et de variables, habituellement notées X, Y, Z, etc.